Stjerne-Trekant Transformation-Forenkling af komplekse netværk
Stjerne-Trekant Transformation er en teknik, der bruges til at gøre komplekse netværk af modstande mere overskuelige og lettere at håndtere.
Denne metode er særligt nyttig, når vi har et netværk, som ikke kan løses direkte ved at anvende serie- og parallelforbindelsesreglerne.
Metoden bygger på Kirchhoffs spændingslov og Kirchhoffs strømlov.
Stjerne-Trekant Transformation kan anvendes på enhver netværkskonfiguration, hvor der er impedanser forbundet i enten stjerne- eller trekantform.
Bemærk, at denne transformation kun er gyldig for lineære netværk, der består af passive komponenter som modstande, kondensatorer og spoler.
Der er to typer af transformationer: stjerne-til-trekant og trekant-til-stjerne.
Stjerne-til-trekant transformation
I en stjerne-til-trekant transformation erstattes en stjernekobling (også kendt som Y-Kobling) af modstande med en trekantkobling (også kendt som Δ-kobling).
Hvis vi har en stjernekobling med modstandene \( R_{10} \), \( R_{20} \) og \( R_{30} \), kan vi beregne de tilsvarende modstande i trekant koblingen ved hjælp af følgende formler:
\[R_{12} = \frac{{R_{10} \cdot R_{20} + R_{20} \cdot R_{30} + R_{30} \cdot R_{10}}} {{R_{30}}}\]
\[R_{23} = \frac{{R_{10} \cdot R_{20} + R_{20} \cdot R_{30} + R_{30} \cdot R_{10}}} {{R_{10}}}\]
\[R_{31} = \frac{{R_{10} \cdot R_{20} + R_{20} \cdot R_{30} + R_{30} \cdot R_{10}}} {{R_{20}}}\]
Eksempel 1: Stjerne-til-trekant transformation
\[R_{10} = 10 \, \text{ohm}, \, R_{20} = 20 \, \text{ohm}, \, R_{30} = 30 \, \text{ohm}\]
Vi bruger formlerne til at beregne de tilsvarende modstande i trekantkobling:
\[R_{12} = \frac{{R_{10} \cdot R_{20} + R_{20} \cdot R_{30} + R_{30} \cdot R_{10}}}{{R_{30}}} = \frac{{10 \cdot 20 + 20 \cdot 30 + 30 \cdot 10}}{{30}} = \frac{{1000}}{{30}} = \frac{{100}}{{3}} \, \text{ohm}\]
\[R_{23} = \frac{{R_{10} \cdot R_{20} + R_{20} \cdot R_{30} + R_{30} \cdot R_{10}}} {{R_{10}}} = \frac{{10 \cdot 20 + 20 \cdot 30 + 30 \cdot 10}}{{10}} = \frac{{1000}}{{10}} = 100 \, \text{ohm}\]
\[R_{31} = \frac{{R_{10} \cdot R_{20} + R_{20} \cdot R_{30} + R_{30} \cdot R_{10}}} {{R_{20}}} = \frac{{10 \cdot 20 + 20 \cdot 30 + 30 \cdot 10}}{{20}} = \frac{{1000}}{{20}} = 50 \, \text{ohm}\]
Trekant-til-stjerne transformation
I en trekant-til-stjerne transformation erstattes en trekantkobling af modstande med en stjernekobling.
Hvis vi har en trekantkobling med modstandene \(R_{12}\), \(R_{23}\) og \(R_{31}\), kan vi beregne de tilsvarende modstande i stjernekobling ved hjælp af følgende formler:
\[R_{10} = \frac{{R_{12} \cdot R_{23}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}\]
\[R_{20} = \frac{{R_{12} \cdot R_{31}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}\]
\[R_{30} = \frac{{R_{23} \cdot R_{31}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}\]
Eksempel 2: Trekant-til-stjerne transformation
\[R_{12} = 10 \, \text{ohm}, \, R_{23} = 20 \, \text{ohm}, \, R_{31} = 30 \, \text{ohm}\]
Vi bruger formlerne til at beregne de tilsvarende modstande i stjernekobling:
\[R_{10} = \frac{{R_{12} \cdot R_{23}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}} = \frac{{10 \cdot 20}}{{10 + 20 + 30}} = \frac{{200}}{{60}} = \frac{{10}}{{3}} \, \text{ohm}\]
\[R_{20} = \frac{{R_{12} \cdot R_{31}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}} = \frac{{10 \cdot 30}}{{10 + 20 + 30}} = \frac{{300}}{{60}} = 5 \, \text{ohm}\]
\[R_{30} = \frac{{R_{23} \cdot R_{31}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}} = \frac{{20 \cdot 30}}{{10 + 20 + 30}} = \frac{{600}}{{60}} = 10 \, \text{ohm}\]
Ovenstående formler er anvendt på ohmske modstande i et AC eller DC kredsløb. men kan let ændres til at anvendes på impedanser i et AC kredsløb.
Stjerne-til-trekant transformation med impedanser:
\[Z_{10} = \frac{{Z_{12} \cdot Z_{23}}}{{Z_{12} + Z_{23} + Z_{31}}} = \frac{{(R_{12} + jX_{12}) \cdot (R_{23} + jX_{23})}}{{Z_{12} + Z_{23} + Z_{31}}}\]
\[Z_{20} = \frac{{Z_{12} \cdot Z_{31}}}{{Z_{12} + Z_{23} + Z_{31}}} = \frac{{(R_{12} + jX_{12}) \cdot (R_{31} + jX_{31})}}{{Z_{12} + Z_{23} + Z_{31}}}\]
\[Z_{30} = \frac{{Z_{23} \cdot Z_{31}}}{{Z_{12} + Z_{23} + Z_{31}}} = \frac{{(R_{23} + jX_{23}) \cdot (R_{31} + jX_{31})}}{{Z_{12} + Z_{23} + Z_{31}}}\]
Bemærk, at multiplikation og division af komplekse tal i denne form indebærer mere komplekse operationer end i polære koordinater. For at gøre beregningerne lettere, kan det være nyttigt at konvertere til polære koordinater, udføre operationerne, og derefter konvertere tilbage til rektangulære koordinater.
Trekant-til-stjerne transformation med impedanser
I en trekant-til-stjerne transformation erstattes en trekantkobling af modstande med en stjernekobling.
Hvis vi har en trekantkobling med impedanserne Za, Zb og Zc, kan vi beregne de tilsvarende impedanser i stjernekoblingen ved hjælp af følgende formler:
Hvis vi har en stjernekobling med impedanserne Z1, Z2 og Z3, hvor hver impedans er et komplekst tal med realdel (resistans) og imaginærdel (reaktans), kan vi beregne de tilsvarende impedanser i trekantkoblingen ved hjælp af følgende formler:
\[Z_{12} = \frac{{Z_{10} \cdot Z_{20} + Z_{20} \cdot Z_{30} + Z_{30} \cdot Z_{10}}}{{Z_{30}}} = \frac{{(R_{10} + jX_{10}) \cdot (R_{20} + jX_{20}) + (R_{20} + jX_{20}) \cdot (R_{30} + jX_{30}) + (R_{30} + jX_{30}) \cdot (R_{10} + jX_{10})}}{{R_{30} + jX_{30}}}\]
\[Z_{23} = \frac{{Z_{10} \cdot Z_{20} + Z_{20} \cdot Z_{30} + Z_{30} \cdot Z_{10}}}{{Z_{10}}} = \frac{{(R_{10} + jX_{10}) \cdot (R_{20} + jX_{20}) + (R_{20} + jX_{20}) \cdot (R_{30} + jX_{30}) + (R_{30} + jX_{30}) \cdot (R_{10} + jX_{10})}}{{R_{10} + jX_{10}}}\]
\[Z_{31} = \frac{{Z_{10} \cdot Z_{20} + Z_{20} \cdot Z_{30} + Z_{30} \cdot Z_{10}}}{{Z_{20}}} = \frac{{(R_{10} + jX_{10}) \cdot (R_{20} + jX_{20}) + (R_{20} + jX_{20}) \cdot (R_{30} + jX_{30}) + (R_{30} + jX_{30}) \cdot (R_{10} + jX_{10})}}{{R_{20} + jX_{20}}}\]
Bemærk, at multiplikation og division af komplekse tal i denne form indebærer mere komplekse operationer end i polære koordinater. For at gøre beregningerne lettere, kan det være nyttigt at konvertere til polære koordinater, udføre operationerne, og derefter konvertere tilbage til rektangulære koordinater.
se endvider:
wikipedia Y-D_transform
Cubus adsl indeholder desuden udledning af formler og viser eksempler på anvendelse af formler:
cubus adsl
https://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/ac-waveform.html
https://www.electronics-tutorials.ws/dccircuits/dcp_7.html
https://www.electronics-tutorials.ws/dccircuits/dcp_8.html https://www.electronics-tutorials.ws/dccircuits/dcp_9.html
https://www.electronics-tutorials.ws/dccircuits/dcp_10.html